Aufgaben zur Bestimmung von Tangenten an Parabeln

ACHTUNG:

Lass dich nicht davon irritieren , dass In den Lösungen zu diesen Aufgaben oft eine zusätzliche zweite Lösungsmöglichkeit genannt ist; das ist die Lösungsmethode mit der "Ableitung" - die ist in der 9. Klasse noch nicht im Stoff, sondern erst in der Oberstufe.

1
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9$ durch den Punkt $B (2 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9, B (2 | y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$- 3 x^{2} + 12 x - 9 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$- 3 x^{2} + (12 - m) x - 9 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D = (12 - m)^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 9 - t) = m^{2} - 24 m + 36 - 12 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = - 3 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 9 = 3$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$3 = 2 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} - 24 m + 36 - 12 (3 - 2 m) = m^{2} = 0$
Löse nach m auf und setze in t ein
$m = 0 \Rightarrow t = 3$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3$
Mit Ableitung
$f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9, B (2 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$f ‘ (x) = - 6 x + 12$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (2) = - 6 \cdot 2 + 12 = 0 = m$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$3 = 0 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 3$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3$
2
Berechne die Tangente an die Funktion $g (x) = \frac{3}{2} {(x + 2)}^{2} - 2$ durch den Punkt $B (- 1 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabeln berechnen
Ohne Ableitung
$g (x) = \frac{3}{2} (x + 2)^{2} - 2, B (- 1 | y)$
Multipliziere mit Hilfe der binomischen Formel aus
$g (x) = \frac{3}{2} x^{2} + 6 x + 4$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$\frac{3}{2} x^{2} + 6 x + 4 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$\frac{3}{2} x^{2} + (6 - m) x + 4 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D = (6 - m)^{2} - 4 \cdot (\frac{3}{2}) \cdot (4 - t) = m^{2} - 12 m + 12 + 6 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = \frac{3}{2} (- 1)^{2} + 6 \cdot (- 1) + 4 = - \frac{1}{2}$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$- \frac{1}{2} = - 1 \cdot m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} - 12 m + 12 + 6 (m - \frac{1}{2}) = m^{2} - 6 m + 9 = 0$
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
$m^{2} - 6 m + 9 = (m - 3)^{2} = 0 \Rightarrow m = 3$
Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
$- \frac{1}{2} = - 1 \cdot 3 + t \Rightarrow t = \frac{5}{2}$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3 x + \frac{5}{2}$
Mit Ableitung
$g (x) = \frac{3}{2} (x + 2)^{2} - 2, B (- 1 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$g ‘ (x) = 3 (x + 2) \cdot 1 = 3 x + 6$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$g ‘ (- 1) = 3 \cdot (- 1) + 6 = 3 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = \frac{3}{2} (- 1 + 2)^{2} - 2 = - \frac{1}{2}$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$- \frac{1}{2} = - 1 \cdot 3 + t \Rightarrow t = \frac{5}{2}$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 3 x + \frac{5}{2}$
3
Berechne die Tangente an die Funktion $h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1$ durch den Punkt $B (- 3 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten an Parabeln
Ohne Ableitung
$h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1, B (- 3 | y)$
Berechne als erstes mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B, indem du $x = - 3$ in h einsetzt:
$y = 2 (- 3)^{2} + 4 \cdot (- 3) - 1 = 5$
Setze nun die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich:
$2 x^{2} + 4 x - 1$ $=$ $m x + t$ $- m x - t$
↓
Bringe alles auf eine Seite
$2 x^{2} + (4 - m) x - 1 - t$ $=$ $0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null. Benutze beim Berechnen die zweite binomische Formel und multipliziere aus:
$D = (4 - m)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 - t) = m^{2} - 8 m + 24 + 8 t = 0$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:
$5$ $=$ $- 3 m + t$ $+ 3 m$
$5 + 3 m$ $=$ $t$
Setze t jetzt in die Diskriminantengleichung ein:
$m^{2} - 8 m + 24 + 8 (5 + 3 m)$ $=$ $0$
↓
Multipliziere die linke Seite aus
$m^{2} + 16 m + 64$ $=$ $0$
↓
Verwende die binomische Formel
$(m + 8)^{2}$ $=$ $0$
$\Rightarrow m = - 8$
Setze m und B jetzt noch in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf:
$5$ $=$ $- 3 \cdot (- 8) + t$ $- 24$
$- 19$ $=$ $t$
Stelle die Tangentengleichung auf:
$t_{B} (x) = - 8 x - 19$
Mit Ableitung
$h (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1, B (- 3 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$h^{'} (x) = 4 x + 4$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$h^{'} (- 3) = 4 \cdot (- 3) + 4 = - 8 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:
$y = 2 (- 3)^{2} + 4 \cdot (- 3) - 1 = 5$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$5 = - 3 \cdot (- 8) + t \Rightarrow t = - 19$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = - 8 x - 19$
4
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$ durch den Punkt $B (- 3 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an eine Parabel berechnen
Ohne Ableitung
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$f (x)$ $=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3, B (- 3 | y)$
$m x + t$ $=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$
↓
Bringe alles auf eine Seite.
$0$ $=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - (2 + m) x - 3 - t$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null.
$D = (2 + m)^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- 3 - t) = m^{2} + 4 m - 2 - 2 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:
$y$ $=$ $- \frac{1}{2} (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 3$
$=$ $- \frac{3}{2}$
Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein:
$- \frac{3}{2} = - 3 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein.
$0$ $=$ $m^{2} + 4 m - 2 - 2 (3 m - \frac{3}{2})$
$0$ $=$ $m^{2} - 2 m + 1$
↓
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel ).
$0$ $=$ $(m - 1)^{2}$
$\Rightarrow m = 1$
Setze m und B in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf.
$- \frac{3}{2} = - 3 \cdot 1 + t \Rightarrow t = \frac{3}{2}$
Stelle die Tangentengleichung auf.
$t_{B} (x) = x + \frac{3}{2}$
Mit Ableitung
$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3, B (- 3 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel.
$f (x)$ $=$ $- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$
↓
Berechne die Ableitung der Parabel.
$f ‘ (x)$ $=$ $- x - 2$
↓
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (- 3)$ $=$ $- (- 3) - 2$
$=$ $1$
$\Rightarrow m = 1$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B:
$y = - \frac{1}{2} (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 3 = - \frac{3}{2}$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$- \frac{3}{2} = - 3 \cdot 1 + t \Rightarrow t = \frac{3}{2}$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = x + \frac{3}{2}$
5
Berechne die Tangente an die Funktion $g (x) = x^{2} + 4 x$ durch den Punkt $B (2 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$g (x) = x^{2} + 4 x, B (2 | y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$x^{2} + 4 x$ $=$ $m x + t$
↓
Bringe alles auf eine Seite.
$x^{2} + (4 - m) x - t$ $=$ $0$
↓
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D$ $=$ $(4 - m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)$
$=$ $m^{2} - 8 m + 16 + 4 t$
$=$ $0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y$ $=$ $2^{2} + 4 \cdot 2$
↓
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$=$ $12$
$12$ $=$ $2 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} - 8 m + 16 + 4 (12 - 2 m) = m^{2} - 16 m + 64 = 0$
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
$m^{2} - 16 m + 64 = (m - 8)^{2} = 0 \Rightarrow m = 8$
Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
$12 = 8 \cdot 2 + t \Rightarrow t = - 4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 8 x - 4$
Mit Ableitung
$g (x) = x^{2} + 4 x, B (2 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel
$g ‘ (x) = 2 x + 4$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$g ‘ (2) = 2 \cdot 2 + 4 = 8 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = 2^{2} + 4 \cdot 2 = 12$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$12 = 8 \cdot 2 + t \Rightarrow t = - 4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 8 x - 4$
6
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = - x^{2} - 2 x - 3$ durch den Punkt $B (- 2 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f (x) = - x^{2} - 2 x - 3, B (- 2 | y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$- x^{2} - 2 x - 3 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$- x^{2} - (2 + m) x - 3 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D = (2 + m)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3 - t) = m^{2} + 4 m - 8 - 4 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = - (- 2)^{2} - 2 \cdot (- 2) - 3 = - 3$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$- 3 = - 2 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} + 4 m - 8 - 4 (2 m - 3) = m^{2} - 4 m + 4 = 0$
Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )
$m^{2} - 4 m + 4 = (m - 2)^{2} \Rightarrow m = 2$
Setze mundb in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf
$- 3 = - 2 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 1$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 2 x + 1$
Mit Ableitung
$f (x) = - x^{2} - 2 x - 3, B (- 2 | y)$
Berechne dieAbleitung der Parabel
$f ‘ (x) = - 2 x - 2$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (- 2) = - 2 \cdot (- 2) - 2 = 2 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = - (- 2)^{2} - 2 \cdot (- 2) - 3 = - 3$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$- 3 = - 2 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 1$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 2 x + 1$
7
Berechne die Tangente an die Funktion $f (x) = x^{2} - 18 x + 85$ durch den Punkt $B (9 | y)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Parabel berechnen
Ohne Ableitung
$f (x) = x^{2} - 18 x + 85, B (9 | y)$
Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich
$x^{2} - 18 x + 85 = m x + t$
Bringe alles auf eine Seite
$x^{2} - (18 + m) x + 85 - t = 0$
Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D = (18 + m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (85 - t) = m^{2} + 36 m - 16 + 4 t = 0$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = 9^{2} - 18 \cdot 9 + 85 = 4$
Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
$4 = 9 m + t$
Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein
$m^{2} + 36 m - 16 + 4 (4 - 9 m) = m^{2} = 0$
Löse nach m auf und setze in t ein
$m = 0 \Rightarrow t = 4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 4$
Mit Ableitung
$f (x) = x^{2} - 18 x + 85, B (9 | y)$
Berechne die Ableitung der Parabel.
$f ‘ (x) = 2 x - 18$
Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (9) = 2 \cdot 9 - 18 = 0 = m$
Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B
$y = 9^{2} - 18 \cdot 9 + 85 = 4$
Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t
$4 = 0 \cdot 2 + t \Rightarrow t = 4$
Stelle die Tangentengleichung auf
$t_{B} (x) = 4$
8
Berechne den Berührpunkt $B$ und die Gleichung einer Tangente an die Parabel $p (x) = (x - 1)^{2} + 1$ so, dass die Tangente zur Tangente im Berührpunkt $A (1,25 | y)$ senkrecht ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten an Parabeln berechnen
Die Tangente an einer Parabel ist eine Gerade, welche die Parabel in einem Punkt berührt und deren Steigung der Ableitungswert der Parabel im Berührpunkt ist.
Gegeben:
$p (x) = (x - 1)^{2} + 1$ und $A (1,25 | y)$
Gesucht:
Parabelpunkt $B (x_{B} | y_{B})$
Berechne die 2. Koordinate von $A$ durch Einsetzen in die Parabelgleichung.
$p (1,25)$ $=$ $(1,25 - 1)^{2} + 1$
$=$ $1,0625$
$\Rightarrow A (1,25 | 1,0625)$
Berechne die Ableitung $p^{'} (x)$ und damit die Steigung $m_{A}$ der Tangente im Punkt $A$ .
$p^{'} (x)$ $=$ $2 x - 2$
↓
Einsetzen des Wertes
$p^{'} (1,25)$ $=$ $2 \cdot 1,25 - 2$
$p^{'} (1,25)$ $=$ $0,5$
$m_{A}$ $=$ $0,5$
Für die zu $m_{A}$ senkrechte Steigung $m_{B}$ gilt: $m_{A} \cdot m_{B} = - 1$ .
$m_{A} \cdot m_{B}$ $=$ $- 1$
$0,5 \cdot m_{B}$ $=$ $- 1$ $\cdot 2$
$m_{B}$ $=$ $- 2$
Setze den Steigungswert $- 2$ für $p^{'} (x)$ ein und berechne die x-Koordinate $x_{B}$ des gesuchten Punktes $B$
$p^{'} (x)$ $=$ $2 x_{B} - 2$
↓
Einsetzten von -2
$- 2$ $=$ $2 x_{B} - 2$ $+ 2$
$0$ $=$ $2 x_{B}$
$x_{B}$ $=$ $0$
Setze $x_{B}$ in die Parabelgleichung ein, um $y_{B}$ zu erhalten.
$p (0)$ $=$ $(0 + 1)^{2} + 1$
$=$ $2$
$\Rightarrow B (0 | 2)$
Stelle die Tangentengleichung in $B$ auf.
$\frac{y - 2}{x - 0}$ $=$ $- 2$ $\cdot x$
$y - 2$ $=$ $- 2 \cdot x$ $+ 2$
$y$ $=$ $- 2 x + 2$

Die Tangenten von einem Punkt der Symmetrieachse der Parabel $p : y = - (x - 1)^{2} + 1$ an die Parabel stehen aufeinander senkrecht. Berechne die Berührpunkte und die Gleichungen der Tangenten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentenberechnung

Symmetrieachse

$p : y = - (x - 1)^{2} + 1$

Entnimm der Scheitelpunktsform den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse der Parabel.

$S (1 | 1)$

$\Rightarrow x = 1$ ist Symmetrieachse

Aufstellen der Geradengleichungen

Wähle auf der Symmetrieachse einen beliebigen Punkt.

$S_{k} (1 | k)$ sei ein beliebiger Punkt auf der Symmetrieachse.

Stelle eine Geradengleichung $g$ durch den Punkt $S_{k}$ mit variabler Steigung $m$ auf.

$g : \frac{y - k}{x - 1}$	$=$	$m$	$\cdot (x - 1)$
$y - k$	$=$	$m (x - 1)$	$+ k$
$y$	$=$	$m x - m + k$

Schnittpunkt berechnen mit der Parabel

Schneide die Gerade $g$ mit der Parabel $p$ durch Gleichsetzen der Funktionsterme.

$- {(x - 1)}^{2} + 1$	$=$	$m x - m + k$
	↓	Löse die Klammer auf.
$- x^{2} + 2 x - 1 + 1$	$=$	$m x - m + k$	$- m x + m - k$
$- x^{2} + 2 x - m x + m - k$	$=$	$0$	$\cdot (- 1)$
	↓	Fasse zusammen
$x^{2} + (m - 2) x + (k - m)$	$=$	$0$

Ausnutzen der Bedingung, dass die Tangente und Parabel nur einen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben

Damit die Gerade $g$ eine Tangente an die Parabel $p$ ist, dürfen sie nur einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. In diesem Fall muss die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich null sein.

Setze die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ der quadratischen Gleichung

$x^{2} + (m - 2) x + (k - m) = 0$ gleich null.

${(m - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (k - m)$	$=$	$0$
	↓	Löse nach $m$ auf.
$m^{2} - 4 m + 4 - 4 k + 4 m$	$=$	$0$
$m^{2} + 4 - 4 k$	$=$	$0$	$+ 4 k - 4$
$m^{2}$	$=$	$4 k - 4$
	↓	Klammere $4$ aus.
$m^{2}$	$=$	$4 (k - 1)$	$\sqrt{}$
$m_{1,2}$	$=$	$\pm 2 \sqrt{k - 1}$

Bedingung der senkrechten Tangenten

Beachte jetzt die gestellte Aufgabe:

Die beiden Tangenten für $m_{1}$ bzw. $m_{2}$ sollen aufeinander senkrecht stehen.

Es muss also gelten: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

$(+ 2 \sqrt{k - 1}) \cdot (- 2 \sqrt{k - 1})$	$=$	$- 1$
$- 4 (k - 1)$	$=$	$- 1$	$: (- 4)$
$k - 1$	$=$	$0,25$	$+ 1$
$k$	$=$	$1,25$

Lösungen

Mit $k = 1,25$ folgt $S_{k} (1 | 1,25)$ .

Setze $k = 1,25$ in $m_{1 / 2} = \pm 2 \sqrt{k - 1}$

$m_{1} = + 1$ und $m_{2} = - 1$ .

Gib die Tangentengleichungen an.

$t_{1} : \frac{y - 1,25}{x - 1}$	$=$	$+ 1$
$t_{1} : y$	$=$	$x + 0,25$

$t_{2} : \frac{y - 1,25}{x - 1}$	$=$	$- 1$
$t_{2} : y$	$=$	$- x + 2,25$

Koordinaten der Schnittpunkte / Berührpunkte

Schneide die Tangenten mit der Parabel durch Gleichsetzen der Funktionsterme.

$t_{1} \cap p$

$- {(x - 1)}^{2} + 1$	$=$	$x + 0,25$
	↓	Klammer auflösen.
$- x^{2} + 2 x - 1 + 1$	$=$	$x + 0,25$	$- x - 0,25$
$- x^{2} + x - 0,25$	$=$	$0$	$\cdot (- 1)$
$x^{2} - x + 0,25$	$=$	$0$
	↓	Fasse mit binomischer Formel zusammen.
${(x - 0,5)}^{2}$	$=$	$0$
	↓	Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung.
$x$	$=$	$0,5$

Setze $x = 0,5$ in $t_{1} : y = x + 0,25$ ein:

$y = 0,5 + 0,25 = 0,75$

$\Rightarrow A (0,5 | 0,75)$

$ t_{2} \cap p$

$- {(x - 1)}^{2} + 1$	$=$	$- x + 2,25$
$- x^{2} + 2 x - 1 + 1$	$=$	$- x + 2,25$	$+ x - 2,25$
$- x^{2} + 3 x - 2,25$	$=$	$0$	$\cdot (- 1)$
$x^{2} - 3 x + 2,25$	$=$	$0$
	↓	Fasse mit binomischer Formel zusammen.
${(x - 1,5)}^{2}$	$=$	$0$
	↓	Die quadratische Gleichung hat nur eine Lösung.
$x$	$=$	$1,5$

Setze $x = 1,5$ in $t_{2} : y = - x + 2,25$ ein:

$y = - 1,5 + 2,25 = 0,75$

$\Rightarrow B (1,5 | 0,75)$

Gegeben sind die quadratischen Funktionen $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ und $g (x) = a x^{2}$ .

Bestimme $a$ so, dass der Graph von $g$ den Graphen von $f$ berührt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$2 x^{2} + 4 x - 1$	$=$	$m x + t$	$- m x - t$
	↓	Bringe alles auf eine Seite
$2 x^{2} + (4 - m) x - 1 - t$	$=$	$0$

$m^{2} - 8 m + 24 + 8 (5 + 3 m)$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die linke Seite aus
$m^{2} + 16 m + 64$	$=$	$0$
	↓	Verwende die binomische Formel
$(m + 8)^{2}$	$=$	$0$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3, B (- 3 \| y)$
$m x + t$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$
	↓	Bringe alles auf eine Seite.
$0$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - (2 + m) x - 3 - t$

$y$	$=$	$- \frac{1}{2} (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 3$
	$=$	$- \frac{3}{2}$

$0$	$=$	$m^{2} + 4 m - 2 - 2 (3 m - \frac{3}{2})$
$0$	$=$	$m^{2} - 2 m + 1$
	↓	Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel ).
$0$	$=$	$(m - 1)^{2}$

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$
	↓	Berechne die Ableitung der Parabel.
$f ‘ (x)$	$=$	$- x - 2$
	↓	Setze den x-Wert von B ein und erhalte m
$f ‘ (- 3)$	$=$	$- (- 3) - 2$
	$=$	$1$

$x^{2} + 4 x$	$=$	$m x + t$
	↓	Bringe alles auf eine Seite.
$x^{2} + (4 - m) x - t$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null
$D$	$=$	$(4 - m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)$
	$=$	$m^{2} - 8 m + 16 + 4 t$
	$=$	$0$

$y$	$=$	$2^{2} + 4 \cdot 2$
	↓	Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein
	$=$	$12$
$12$	$=$	$2 m + t$

$p^{'} (x)$	$=$	$2 x - 2$
	↓	Einsetzen des Wertes
$p^{'} (1,25)$	$=$	$2 \cdot 1,25 - 2$
$p^{'} (1,25)$	$=$	$0,5$
$m_{A}$	$=$	$0,5$

$m_{A} \cdot m_{B}$	$=$	$- 1$
$0,5 \cdot m_{B}$	$=$	$- 1$	$\cdot 2$
$m_{B}$	$=$	$- 2$

$5$	$=$	$- 3 m + t$	$+ 3 m$
$5 + 3 m$	$=$	$t$

$5$	$=$	$- 3 \cdot (- 8) + t$	$- 24$
$- 19$	$=$	$t$

$p (0)$	$=$	$(0 + 1)^{2} + 1$
	$=$	$2$

$p^{'} (x)$	$=$	$2 x_{B} - 2$
	↓	Einsetzten von -2
$- 2$	$=$	$2 x_{B} - 2$	$+ 2$
$0$	$=$	$2 x_{B}$
$x_{B}$	$=$	$0$

$\frac{y - 2}{x - 0}$	$=$	$- 2$	$\cdot x$
$y - 2$	$=$	$- 2 \cdot x$	$+ 2$
$y$	$=$	$- 2 x + 2$

$f (x)$	$=$	$g (x)$	$- g (x)$
$f (x) - g (x)$	$=$	$0$
	↓	Setze $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ und $g (x) = a x^{2}$ ein.
$(x - 1) (x - 2) - a x^{2}$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere aus.
$x^{2} - 2 x - x + 2 - a x^{2}$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$(1 - a) x^{2} - 3 x + 2$	$=$	$0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an (oder p-q Formel)
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 - a) \cdot 2}}{2 \cdot (1 - a)}$

$D$	$=$	$0$
${(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 - a) \cdot 2$	$=$	$0$
$9 - 4 \cdot (1 - a) \cdot 2$	$=$	$0$
$9 - 8 \cdot (1 - a)$	$=$	$0$
$9 - 8 + 8 a$	$=$	$0$
$1 + 8 a$	$=$	$0$	$- 1$
$8 a$	$=$	$- 1$	$: 8$
$a$	$=$	$- \frac{1}{8}$

Aufgaben zur Bestimmung von Tangenten an Parabeln

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

Ohne Ableitung

Mit Ableitung

Symmetrieachse

Aufstellen der Geradengleichungen

Schnittpunkt berechnen mit der Parabel

Ausnutzen der Bedingung, dass die Tangente und Parabel nur einen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben

Bedingung der senkrechten Tangenten

Lösungen

Koordinaten der Schnittpunkte / Berührpunkte